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REPRÉSENTATION ANALYT, DE LA VITESSE DANS L'HYDRODYNAMIQUE. 67 
On voit ensuite, par passage de n à n + 1, qu'on a, pour toute valeur 
entière et positive de n, 
4 | w, | < ^ | (37 K 
2n—1 
P - Mae. 
2(1+ BR) ‘2x ) a 
| Un | 1 | Vn 
E if — 1 
|, : | v, | - | t0, <a tia! | zt 
p | —0 y (Itc 37 K PE n y(n 
Cars) ^ Eccc ru 
AT 
a” représente ici encore la série de nombres définie par les égalités 
i=n—1 
(Gb) — (nn — y (i) py (n—1) 
O=1, @= Yaa 
i=1 
Les dernieres inégalités montrent que les fonctions w,, v,, 10,; 
H,, U,. w, sont finies et déterminées pour toute valeur entière et po- 
sitive de n, et que les séries 
N 
Diu, , Zar, a 
convergent pour toutes les valeurs de x, y, z et pour les valeurs de 
o qui appartiennent à D,, pourvu que |4| <A, et que 
(37K) Ma, = n° . 
Ensuite on voit immédiatement, au moyen des inégalités que nous avons 
fait connaitre, qu'on peut dériver ces séries terme à terme par rapport 
ax,y, 2, et qu'elles vérifient nos équations intégrales. On constate 
finalement sans peine que les conditions relatives ala manière dont se 
comportent nos solutions quand le point x, y, 2 s'éloigne à l'infini 
auxquelles nous avons assujeti celles-ci, sont remplies. 
Nous avons vu que si | 4| <4,, notre probléme a une solution pour 
toute valeur dec appartenant au domaine D,. J’affirme maintenant que 
les fonctions 4, v, w qui répondent à cette solution ainsi que leurs déri- 
vées sont des fonctions analytiques régulières de A et o dans les domaines 
de variation de ces variables que nous venons d'indiquer. 
