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Pour commencer, je dis que les fonctions w,, v,, w, et leurs 
derivees par rapport à x, y, z soht des fonctions analytiques regulie- 
res de o dans tout le demi-plan o, 2 0. La démonstration se fait par 
passage de » à n-- 1. J'admets done que pour 1 <i € » les fonctions 
M, Vi, wi et leurs dérivées sont des fonctions analytiques de o dans 
tout le demi-plan o; > 0. Je dis que, si c, est un point quelconque de 
ce demi-plan et si le cercle 
|lo—«|-5 (5) 
appartient tout entier au méme demi-plan, les fonctions w,,,, Vi» 
Wn, et leurs dérivées par rapport à x, y, 2 sont des fonctions analy- 
tiques régulières de o dans ce cercle. - 
Par hypothèse, on peut trouver un nombre positif o,, tel que le’ 
cercle (5) se trouve tout entier dans le demi plan 6, > 6,,. À ce nombre 
5, et aux nombres positifs « et «', dont le choix est arbitraire, pourvu 
uon ait O<a, «'—c-, il répond une valeur déterminée de M jouis- 
q ; 8” P ] 
sant de la propriété d'étre la plus petite valeur pour laquelle nos iné- 
galités fondamentales relatives aux fonctions X, Y, Z aient lieu. 
Je désigne par s' un nombre positif supérieur à s tel que le do- 
maine 
leo) ES (6) 
appartienne encore tout entier au demi-plan o; > 6,. C’est ce domaine 
que je laisserai maintenant jouer le rôle de D, dans les considérations 
qui suivent. Les grandeurs q et o, dépendent done de o, et s'. 
Jenvisage d'abord les fonctions 1d,,;, Un, Wu elles-mêmes. 
Nous avons 
Un 3 Ui 5 Urs 
=n 
J 
Unga = a PA) m Vi 0, ido 
In), F9 ES | 
Unpti 9 Var 9 Warı-i | 
et deux expressions analogues pour v,,, et w,,,. D’après ce que nous 
avons supposé, toutes les fonctions w;, v;, Wi, Urs dv, Wi figurant 
dans les seconds membres peuvent être représentées par des séries 
