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de plus que les valeurs absolues des fonctions en question ont une 
limite supérieure qui n’est jamais dépassée, quelques soient les valeurs 
réelles attribuées à x, y, 2; €, n, € et quelque soit la valeur choisie 
pour o dans le demi-plan 6, > 0. Cette limite est le nombre abstrait que 
nous avons désigné par a. Il suit de là que les seconds membres dans 
nos formules donnant %,,,, v,,;, Wir peuvent s’ecrire sous la forme 
a 
ER 
| Pt, y,255.,m, 6, Je : 
les fonctions représentées par F étant développables en des séries en- 
tieres qui procèdent suivant les puissances de 6 — o, et convergent 
uniformément pour toutes les valeurs réelles de x, y, 2; 5, 7, £ et 
pour les valeurs de o appartenant au domaine (S). Partageons main- 
tenant le domaine d'intégration de notre intégrale en domaines partiels 
2, 2,,..., le domaine 2, étant la partie de l'espace comprise 
entre les sphères r=r,, et fr =. fys ';,... est. ici une suited 
nombres positifs croissants, dont le premier a la valeur zéro et qui 
remplissent la condition 
lim 7, =». 
n=c0 
Dans chacune des intégrales partielles obtenues de cette manière, 
nous développons la fonction F en série entière procédant suivant les 
puissances de c — à,. Comme ces séries sont uniformément conver- 
gentes, on peut les intégrer terme à terme. Les séries auxquelles 
nous arrivons ainsi convergent dans le domaine (8) pour toutes les 
valeurs réelles de x, y, z. Nous trouvons ainsi pour Units Örtris 
1,41 des expressions constituées par des sommes de fonctions analy- 
tiques de 6 —o,. Mais ces sommes sont a coup str uniformément 
convergentes pour toutes les valeurs de ©, y, 2 et pour les valeurs 
de o qui appartiennent au domaine (8). Cela résulte des propriétés des 
intégrales donnant u,,,, v,,,, W,41 dont nous sommes partis. D’après 
un théorème de Weierstrass connu. nous pouvons alors affirmer que 
4.1, Untis Way, Sont eux-mêmes des fonctions analytiques de o dans 
le domaine (8). 
La démonstration du théorème analogue relatif aux dérivées de 
Uny1s Untiy Wns, peut, en substance, se faire de la méme façon. On 
