Severin Johansson. (Lill 



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2j Hn 2, I v 



1 (1) 



I rn + å I 



wo die Summe iiber alle Substitutionen der Hauptkreis- 

 gruppe zu erstrecken ist. 



In Bezug auf die Konvergenz dieser Reihe zerfallen 

 nach den obigen Sätzen die Hauptkreisgruppen der i) - 

 Ebene in zwei Typen, jenachdem der Hauptkreis ein Grenz- 

 kreis ist, iiber dessen Peripherie die Gruppe nicht fortsetz- 

 bar ist, öder nicht; im ersten Falle divergiert die Reihe (1), 

 im zweiten dagegen ist die Reihe konvergent. 



Dieser Satz känn auch so ausgedriickt werden, dass 

 wir sägen: die Summe (1) ist konvergent öder divergent, 

 jenachdem die Hauptkreisgruppe auf der Peripherie des 

 Hauptkreises eigentlich diskontinuierlich ist öder nicht. 



2. Diese Sätze sind nun alle richtig, solange es sich 

 um Gruppen handelt, die aus endlich vielen Erzeugenden 

 aufgebaut sind. Wenn wir aber Gruppen mit unendlich vie- 

 len erzeugenden Substitutionen mit in Betracht ziehen, 

 so verlieren die obigen Sätze ihre Bedeutung. Ich will 

 nämlich im Folgenden zwei Beispiele von Hauptkreisgrup- 

 pen angeben, die den Hauptkreis zu wirklichem Grenzkreis 

 haben und bei denen trotzdem die Poincaré' sche Reihe 



konvergiert. Freilich haben dann diese Gruppen unendlich 

 viele Erzeugende. 



Mein erstes Beispiel steht in engem Zusammenhang 

 mit denjenigen Untersuchungen, die Poincaré ') iiber die 

 Konvergenz der genannten Reihe angestellt hat. In mei- 



') Sur les groupes des équations linéaires, Acta mathem. T. iv. 

 Sur iuniformisation des fonctions analytiques, Acta mathem. T. xxxi. 



