A N:o 15) Die Poincaré'schen Reihen bei den Hauptkreisgruppen. 3 



nem zweiten Beispiele gehe ich von ganz eigenartigen 

 Anschauungen aus, auf die ich später noch zuruckkommen 

 werde. 



Erstes Beispiel. 



3. Es bedeute in der oj — Ebene U die lineare Sub- 

 stitution w 4- 1 ; weiter sei 



aco-\-8 



2= 



yo) + (> 



eine beliebige Substitution der Modulgruppe, d. h. a, ^, y 

 und 6 sind beliebige der Beziehung 



rt(5 — /:?}' = 1 



geniigende ganze rationale Zahlen. Schliesslich sei n eine 

 beliebige aber fest gewählte, ganze Zahl ä 7. 



Wir betrachten jetzt die unendlich vielen Substitu- 

 tionen 



v i^ny^ (l+n7d)a)4-n6^ ^ (2) 



— n/^ ct) +1 — ny(S 



wo 2' alle Substitutionen der Modulgruppe durchläuft. 



Alle Substitutionen (2) gehören ersichtlich der Modul- 

 gruppe an. Wenn wir also aus diesen Substitutionen als 

 Erzeugenden eine Gruppe aufbauen, so ist diese eine Unter- 

 gruppe der Modulgruppe. Diese Untergruppe ist die in der 

 Theorie der Modulgruppe wohlbekannte Gruppe ^\n\) 



Die Gruppe Ti^ I deckt sich ersichtlich mit der Mannig- 

 faltigkeit aller derjenigen Modulsubstitutionen, die sich in 

 die Form bringen lassen 



n 2'u'^"'^i 



^) Vgl. Klein-Fricke: Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen 

 Modulfunktionen. S. 356. 



