A N:o 15) Die Poincaré'schen Reihen bei den Hauptkreisgruppen. 5 

 2:o dass die Poincaré'sche Reihe 



1 



V t 



i'\ri, ^ + (5 



konvergiert. 



2 



5, Der erste Teil unserer Behauptung deckt sich mit 

 der Behauptung, dass die Gruppe Fi^^ in der Modulhalb- 



ebene keine Fortsetzung iiber die reale Achse zulässt. Die- 

 ser Umstand folgt aber einfach aus der Erzeugung der 

 Gruppe Ti^i. 



In der Gruppe Ti^i sind nämlich alle Substitutionen 



v 1 ^n v _ (1 -r nyd) (o + nö- ,^. 



— n7^co4- 1 —nyå 



enthalten. Diese Substitutionen sind alle von parabolischem 

 Typus und ihre Fixpunkte sind die Punkte 



d 

 CO ^ 



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der realen Achse, wo ö und y alle Paare zu einander rela- 

 tiv primer Zahlen durchlaufen sollen. Also liegen schen 

 die Fixpunkte der Substitutionen (3) iiberall dicht auf der 

 realen Achse, woraus hervorgeht, dass die reale Achse eine 

 wirkliche Grenzkurve fiir die Gruppe rr^i ist, genau so wie 



sie eine Grenzkurve fiir die Modulgruppe ist. 



Die Gruppe rf„i hört also auf der realen Achse auf 



eigentlich diskontinuierlich zu sein, indem nämlich unter den 

 Punkten der realen Achse, die in Bezug auf r,„i mit den 



Punkten einer noch so kleinen Strecke aeqvivalent sind. 

 Punkte gerade dieser Strecke vorkommen. 



