6 Severin Johansson. (LIII 



Hiermit ist dann der erste Teil unserer Behauptung 

 erledigt, ^) 



6. Um den Beweis zu erbringen, dass die Reihe 



konvergiert, mässen wir funktionentheoretische Anschau- 

 ungen heranziehen. 



Wir betrachten in einer z- Ebene die Schwarzschen 

 s— Funktionen 



und 



1 1 1 

 r\n = Å I — . — . ; z 



2 3 n 



1 1 1 



s I , , — ; 2 



2 3 00 



Diese Funktionen sind bekanntlich iiber die z- Ebene 

 regulär verzweigte Funktionen, die ihre Windungspunkte in 

 o, 1 und 00 haben. In o und 1 hängen sowohl bei ^n als 

 bei ^r^ immer je zwei bezw. je drei Blätter in Zyklus zusam- 

 men, während in dem unendlich fernen Punkte ^n mit Zy- 

 keln von n Blättern in jedem Zyklus und )]^ mit unend- 

 lich vielen Blättern in jedem Zyklus auftreten. 



Es entspringen so zwei äber die z - Ebene regulär 

 verzweigte, unendlich vielblättrige, einfach zusammenhän- 

 gende Riemannsche Flächen Fn und F^. Die Funktionen 

 r^n und r]^ sind auf den Flächen F„ und F^^ bezw. eindeu- 

 tige und einwertige Funktionen, Weiter ist /;„ noch auf der 

 Fläche Foo eindeutig und infolgedessen eine eindeutige Funk- 

 tion von 1]^. 



M Alle bis jetzt gewonnenen Ergebnisse gelten fUr « ^ 2. Die 

 folgenden Entwickelungen verlangen, dass « s 7. 



