A N:o 15) Die Poincaré'schcn Reihen bei den Hauptkreisgruppen. 7 



Die Funktionen //„ und Voo vermitteln die konforme 

 Abbildung der Flachen Fn und F^ auf das schlichte und 

 liickenlose Innere eines Kreises der *y„ — bezw. r]^ - Ebe- 

 ne. ^) Dabei entstehen in diesen Ebenen die aus der Theo- 

 rie der Dreiecksfunktionen bekannten Dreiecksnetze. 



Die Dreiecksfunktionen t)n und i/^ sind bis auf eine 

 beliebige Kreisverwandschaft bestimmt. Unter den mit ein- 

 ander kreisverwandten //^o ~ Ebenen kommt dann bekannt- 

 lich auch die Modulhalbebene vor. Das besagt aber, dass 

 die Funktion >/„ in der Modulhalbebene eine eindeutige Funk- 

 tion ist. Von dieser Funktion //n in der Modulhalbebene 

 wollen wir zeigen, dass sie bei allén Substitutionen der 

 Gruppe Ff^x und nur bei diesen in sich iibergeht, öder also 



dass die Funktion >in eine in Bezug auf Fi^x automorphe 



Funktion in der Modulhalbebene ist. 



t]n geht als Funktion in der z— Ebene in sich iiber 

 immer und nur bei Umläufen, die sich auf der Fläche F„ 

 schliessen. Ein solcher Umlauf lässt sich aber durch stetige 

 Verschiebung ohne die Punkte o, 1 öder oo zu iiberstrei- 

 chen in Schleifen auflösen. Eine Schleife geht dann von ei- 

 nem regulären Punkte aus, durchläuft gewisse Blätter und 

 riickt gegen einen Windungspunkt an, den sie vollständig 

 ein öder mehrere Male umwindet, wonach sie denselben 

 Weg zum Ausgangspunkte zuriickkehrt. 



Nun liefern alle Schleifen, die die Punkte o öder 1 

 auf der Fläche F„ vollständig umwinden, ebenfalls auf F^ 

 geschlossene Wege, während Schleifen, die den unendlich 

 fernen Punkt auf Fn vollständig umwinden, zu offenen We- 

 gen auf F^ Anlass geben. Da diese Wege aber den un- 



M Es folgt das aus dem Umstande, dass 



- - + ^ + - < 1 

 2 3 00 



und h i < 1, sobald n > 7. 



2 3 n 



