8 Severin Johansson. (LIII 



endlich fernen Punkt der z - Ebene i'n-Mal umwinden, wo 

 v eine ganze Zahl bedeutet, so werden diese Umläufe in 

 der Modulhalbebene offene Wege, die in Bezug auf ^|^^ 



aeqvivalente Punkte dieser Halbebene verbinden. 



Liegt umgekehrt eine solche Substitution vor, so ent- 

 steht auf F^ ein Weg, der aus Schleifen zusammengesetzt 

 ist, welche alle den unendlich fernen Punkt vn— Mal um- 

 winden. Solche Wege sind aber auf Fn niedergelegt ge- 

 schlossene Wege, die also }]n in sich iiberfiihren. 



Hiermit ist bewiesen, dass /;„ als Funktion in der Mo- 

 dulhalbebene eine zur Gruppe r,„i gehörende automorphe 



Funktion ist. 



7. Wenn wir nunmehr die Modulhalbebene in die 

 Fläche des Einheitskreises der /; — Ebene iiberfiihren (Vgl. 

 S. 4), so wird t)n eine eindeutige Funktion in der /y — Ebene; 

 dieser Ubergang entspricht dabei einfach einer neuen Aus- 

 wahl aus der Gesamtheit der mit einander kreisverwandten 

 Funktionen /y^. Es ist unmittelbar klar, dass die Funktion 

 'r]n als Funktion in der ij — Ebene eine automorphe Funktion 

 ist, deren Gruppe grade mit unserer S. 4 definierten Gruppe F 

 zusammenfällt. 



Die Fläche F^ känn aufgefasst werden als eine un- 

 endlichvielfache Uberlagerung der Fläche Fn. In der /; - Ebe- 

 ne wird nun F^ auf das Innere des Einheitskreises ausge- 

 breitet. Dabei geht dann F„ in ein Flächenstiick iiber, wel- 

 ches unendlich viele Dreiecke der Dreiecksteilung in der 

 ry - Ebene iiberdeckt. Entsprechend der unendlich vielfachen 

 Uberlagerung erhalten wir unendlich viele derartige Flächen- 

 stiicke, die sich neben einander lagern und deren Mannig- 

 faltigkeit schliesslich das Innere des Einheitskreises genau 

 einmal iiberdeckt. Diese Flächenstiicke gehen in einander 

 iiber durch die Substitutionen der Gruppe F und jedes von 

 ihnen känn also aufgefasst werden als ein Fundamentalbe- 

 reich der Gruppe F. Der S. 5. bewiesene Satz, dass die 

 Gruppe F auf der Peripherie des Einheitskreises nicht mehr 

 eigentlich diskontinuierlich ist, besagt, dass keiner dieser 



