A N:o 15) Die Poincaré'schen Reihen bei den Hauptkreisgruppen. 9 



Bereiche endlich ausgedehnte Stiicke der Peripherie des 

 Einheitskreises in seiner Begrenzung aufweist. 



Weil lin auf der Fläche Fn einwertig ist, so nimmt sie 

 als Funktion in der // — Ebene innerhalb jedes der oben de- 

 finierten Bereiche jeden Wert, den sie iiberhaupt annimmt, 

 genau einmal an. Die Funktion /;„ war aber nur bis auf 

 eine behebige Kreisverwandschaft bestimmt. Diese Kreis- 

 verwandschaft wollen wir nun erstens so ausnutzen, dass 

 die entstandene Funktion 'y„ die Fläche Fn auf das Innere 

 des Einheitskreises der /y„ — Ebene konform abbildet, Die 

 Funktion /y„ ist dann bis auf eine beliebige Verschiebung 

 dieser Kreisfläche in sich bestimmt. Durch diese Verschie- 

 bung können wir noch erreichen, dass //„ als Funktion in 

 der /; — Ebene grade in dem NuUpunkte dieser Ebene ver- 

 schwindet. 



Die hiermit fiir | '/ 1 < 1 vollständig festgelegte Funk- 

 tion tjn hat die fiir die folgende Entwickelung wichtige Ei- 

 genschaft, dass 



\>ln\<\ 



ist. Weiter verschwindet die P^unktion >;„ in dem NuUpunkte 

 der /y- Ebene und in allén mit dem NuUpunkte in Bezug 

 auf die Gruppe F aeqvivalenten Punkte; in allén iibrigen 

 Punkten | /y | < 1 ist die Funktion /y„ von Null verschieden. 



8. Nach den hiermit durchgefiihrten Uberlegungen 

 bietet es keine Schwierigkeiten mehr dar zu beweisen, dass 

 die Summe 



y ~J 



konvergiert. Wir wollen deshalb zuerst die Konvergenz 

 einer anderen Summe sicherstellen. 



