A N:o 15) Die Poincaré'schen Reihen bei den Hauptkreisgruppen. 11 



Von diesen liegen die Punkte S (oo ) ausserhalb der 



Peripherie des Einheitskreises, Dagegen liegen die Punkte 



S (o) sämtlich innerhalb der Peripherie des Einheitskreises 



und ihre Mannigfaltigkeit deckt sich mit der Mannigfaltig- 

 keit der Unstetigkeiten von — log|»/„|. 



Fur h/|<l ist |S„/;|<1. Die Reihe (4) besteht also 



aus lauter positiven Gliedern sobald |//|<1. Von dieser 

 Reihe wollen wir nun zeigen dass sie konvergiert und dass 

 ihre Summe grade gieich — log | tjn | ist. ^) 



9. Wir beweisen also folgenden Satz: 

 Es besteht die identische Beziehiing 



fl = 00 



— log I »?„ I = V — log I S„ // 1 



/( = 



fur \>i\<\. 



Vorläufig beweisen wir, dass wenn N eine beliebige 

 ganze Zahl ist, die Ungleichung besteht 



i(=N 



-log|/M|> Z -log|^.'H (5) 



/(=0 

 fur |/H<1. 



Die Summe rechter Hand wird unstetig in den N~- 1 

 Punkten 



0,57(0) /t=l,2,...,iV; (6) 



sonst ist die Summe iiberall innerhalb des Einheitskreises 

 regulär. Weil 5„>/ eine Verschiebung des Einheitskreises 



in sich bedeutet, so ist längs der Peripherie dieses Kreises 



M Vgl. Poincaré Acta math. T. iv und T. xxxi. 



