A N:o 15) Die Poincarc'schen Reihen bei den Hauptkreisgruppen. 19 



einander und ihre Gesamtheit fullt das ganze Innere des 

 Einheitskreises genau einmal aus. 



13. In bekannter Weise biide ich jetzt aus der Ge- 

 samtheit der oben definierten Spiegelungen eine Gruppe 

 linearer Substitutionen. Wir schraffieren deshalb unser Aus- 

 gangspolygon Aq- Die aus Ao bei Spiegelung iiber die freien 

 Ränder entstandenen Polygone A,, lassen wir ohne Schraf- 

 fierung; die aus A,, durch Spiegelung iiber die freien Rän- 

 der entstandenen Polygone A werden wiederum schraffiert 

 u. s. w. In solcher Weise wird dann schliesslich unser Netz 

 aus abwechselnd schraffierten und unschraffierten Polygo- 

 nen bestehen, wobei dann immer von zwei neben einander 

 liegenden Polygonen das eine schraffiert, das andere un- 

 schraffiert ist. 



Die Gesamtheit aller derjenigen Operationen, die die 

 Zusammenfassung aller schraffierten öder aller unschraffier- 

 ten Bereiche in sich iiberfiihren, biidet dann eine Gruppe 

 linearer Substitutionen F. 



A,, sei ein beliebiges der Polygone A^. Dann ist 



das Polygon 



A=Ao+A,,^ 



ersichtlich ein Fundamentalbereich der Gruppe F. Durch 

 Ausiibung der Substitutionen in F entstehen aus Aq unend- 

 lich viele Bereiche 



i4<o) = ^, Ä^\ A<'\ ..., 



die das ganze Innere des Einheitskreises genau einmal aus- 

 fiillen; jedes Ä^'"> besteht dabei aus einem schraffierten und 

 einem unschraffierten Polygon A. 



Das Polygon Aq enthält die Punkte der Mengen /Iq und 

 /T,,^, sonst aber keine Punkte der Peripherie des Einheits- 

 kreises, Bezeichnen wir die Zusammenfassung der Mengen Ff^ 

 und n^^ mit Pq, so ist Pq eine nirgends dichte abgeschlossene 



Menge. In den Punkten von Pq erreicht also Aq die Peri- 



