A N:o 15) Die Poincaré'schen Reihen bei den Hauptkreisgruppen. 21 



ten. Weil die Kreisbogen d,, keine Punkte gemeinsam ha- 

 ben, ist 



v 



Es treten uns hier zwei Möglichkeiten entgegen. Ent- 

 weder ist 



v 



öder 2^d,,<2jT. 



)• 



Wir wollen diese Fälle als den parabolischen und den 

 hyperbolischen Fall bezeichnen. 

 Den Ausdruck 



/(O) _ 2 jr- ^ rf,, 



i' 



wollen wir den längs der Peripherie des Einheitskreises ge- 

 messenen Inhalt der Menge P'°* nennen. Die beiden Fälle 

 sind dann dadurch von einander verschieden, dass im pa- 

 rabolischen Falle die Fundamentalmenge P**'' ohne Inhalt ist, 

 d. h, den Inhalt Null hat, während im hyperbolischen Falle 

 P"^* einen von Null verschiedenen Inhalt besitzt. 



16. Indem ich mir vorbehalte auf den parabolischen 

 Fall später zuruckzukommen, beweise ich hier folgen- 

 den Satz: 



Bei den Gruppen vom hyperbolischen Typus konvergieren 

 die Poincaré' schen Reihen (- 2):ter Dimension. 



Es sei r eine Gruppe vom hyperbolischen Typus; ihre 

 Substitutionen seien 



Es gilt zu beweisen, dass die Reihe 



y — ^ — (9) 



konvergiert. 



