2 Matths Falk, 



beliebigen Grades getban, zwei Entartungen der doppelt periodiscben 

 Functionen zweiten Grades herleiten. Da wir die Ausdrücke dieser 

 entarteten Functionen, wie sie aus der obigen Gleichung (1) hervor- 

 gehen, nöthig haben, müssen wir deren Herleitung ein wenig erörtern. 



Man überzeugt sich leicht, dass es stets möglich ist, die Grössen 

 ^j , a^ , 6j , b^ in demjenigen Theile des Gebietes von u zu wählen, wel- 

 cher aus den 4 vom Nullpunkte ausgehenden primitiven Periodenparal- 

 lelogrammen gebildet ist, deren Periodenpaare beziehungsweise 



(2w,2a)'), (2co',_2cü), (-2cü,— 2w'), (-2a>',2w) 



sind, und zwar so, dass die Gleichung (2) erfüllt bleibt. Dann kann man 

 durch eine Schlussweise, welche der von Herrn Weiersteass im allge- 

 meinen Falle angewendeten ganz analog ist, beweisen, dass, wenn w 

 unendlich gross ist, der Gleichung (1) die Form 



gegeben werden kann, wo J eine unendlich kleine Grösse, 



(3) . = ."^ , 



und 2h 1 </i ? Pi , <h 1 ''i 7 *i 1 ''2 1 *2 ^on u unabhängige endliche Grössen be- 

 deuten, welche die Bedingung 



PiPii^i-S — qi<h'\^\ 



= 



erfüllen. Für co' = 00 ergiebt sich hieraus die einfach periodische Ent- 

 artung der doppelt periodischen Functionen zweiten Grades, nämhch 



(A^ ^ _ «^' + ß^ + y 



^^■> ~ a'z' + ß'z+y ' 



wo zwischen den Constanten oc ,/:?,/,«' , ß' , y' die Gleichung 



(5) ay — a y = O 



stattfindet. 



Lässt man schliesslich in (4) die Periode 2co unendlich wachsen, 

 so ergiebt sich eine neue Entartung der doppelt periodischen Functionen 

 zweiten Grades, nämlich die rationale Function: 



