Uebee -elliptische Functionen zweiten Grades. 5 



Mau überzeugt sich leicht, dass diese aus (8) hervorgehenden 

 Entartungen mit denjenigen in (4) und (6) enthaltenen, welche rationale 

 Functionen zweiten Grades von z oder von u sind, vollständig überein- 

 stimmen. Dagegen kommen die, welche in (4) und (6) enthalten und vom 

 ersten Grade sind, unter diesen Entartungen von (8) gar nicht vor. 



Wollen wir dann die Gleichung (8) benutzen, um Eigenschaften 

 der elliptischen Functionen zweiten Grades zu beweisen, so wird es also 

 ausserdem nöthig sein, besonders zu zeigen, dass die in (4) und (6) ent- 

 haltenen Entartungen ersten Grades dieselben Eigenschaften besitzen. 



III. 



UEBER DIE HEELEITÜNG DEE DIFFERENTIALGLEICHUNG DER 

 ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN ZWEITEN GRADES. 



Aus der Gleichung (8) und der für 



s = pill — u^) 

 geltenden 



(14) (;~) = ^^'-y.^-9. 



^du' 



ergiebt sich ohne Schwierigkeit, wie es Herr Weierstbass bewiesen hat, 

 eine Differentialgleichung von der Form 



(15) (^V = R[x) , 



^du' 



wo R{x) eine ganze rationale Function von x bedeutet, deren Grad höch- 

 stens = 4 ist. Die Coefticienten der einzelnen Potenzen von x in R{x) 

 sind rational aus den Invarianten g^ , g^ der Function ^(m) und den 

 Constauten A , B ^ A\ B' in (8) zusammengesetzt. 



Hierdurch ist also bewiesen, dass die doppelt periodischen Func- 

 tionen zweiten Grades und deren au^ (8) hervorgehenden Entartungen 

 einer Differentialgleichung von der Form (15) genügen. Es erübrigt 

 also noch nachzuweisen, dass dies auch mit den in (4) und (6) enthaltenen 

 Functionen ersten Grades der Fall ist, wobei man natürlich u — u^ statt 

 u zu setzen hat. 



