Ueber elliptische Functionen zweiten Grades. 7 



d. h. von der Form (15), wobei i?(^) eutwedei- einer von Null verschie- 

 denen Constanten oder der vierten Potenz einer ganzen rationalen Func- 

 tion ersten Grades gleich ist '). 



Löst man nun die Gleichung (15) in Bezug auf du auf, so wird 

 also der folgende bekannte Satz vollständig begründet, nämlich: 



Jede elliptische Function zweiten Grades leistet einer Differentialglei- 

 chung von der Form 



(16) du= '^'^ 



Genüge, wo R{x) entweder eine ganze rationale Function von x , deren 'Grad 

 höchstens gleich 4 ist, oder eine von Null verschiedene Constante bedeutet. 



IV. 



ÜEBER DIE EXISTENZ EINEK ANALYTI.SCHEN FUNCTION, WELCHE DEK 

 GLEICHUNG (15) GENÜGE LEISTET. DIESE FUNCTION IST EINE 

 ELLIPTISCHE FUNCTION ZWEITEN GRADES. 



Es erweist sich jetzt die umgekehrte Aufgabe als sehr wichtig, 

 )iämlich zu beweisen, dass es stets — wie man auch die Coefficienten der 

 einzelnen Potenzen von x in R(x) wählen mag "), wo 



(17) R(x) = Ax' + 4:Bx' + 6 Cx' + AB' x -f- A' 



ist — eine analytische Function x von u gieht, welche der Gleichimg (15) 

 oder (16) genügt., und dass diese Function auch stets eine elliptische Function 

 zweiten Grades ist. 



Herr Weierstrass hat diese Untersuchung ausgeführt vermittelst 

 Einführung einer neuen Veränderlichen s statt œ, wobei die zwischen s 



1) Aus der Gleichung (4) odei- (6) kaun mau, wenn die entsprechende Bedin- 

 gung (5) oder (7) ei'füllt ist, eine Diä'erentialgleichuug von der Form (15) herleiteu, 

 wobei es sich zeigen wird, dass in R{x) die zweite oder dritte Potenz einer ganzen 

 linearen Function von x als Factor auftreten muss. Wir halten es jedoch nicht für 

 nöthig, diese allgemeinere Untersuchung auszuführen. 



2) Nur dass sie nicht alle gleich Null genommen werden. 



