8 Matths Falk, 



und X aufgestellte Beziehung unter Anderm so beschaffen ist, dass sie 

 die Gleichung (16) in 



(18) du = — , S = '^s^ — q,s — q„ 



transformiert, und dass nicht nur s und VS rationale Functionen von x 

 und i R{x) , sondern auch umgekehrt x und ^R{x) rationale Functionen 

 von s und iS werden. 



Die Veranlassung dazu, die erwähnte Beziehung zwischen s und 

 X aufzustellen, hat Herr Weierstrass aus einer bekannten Transformation 

 genommen, welche im Falle, wo R(x) vom zweiten Grade ist, gewöhn- 

 lich benutzt wird. 



Ich will jetzt dieselbe Aufgabe vermittelst einer einfacheren Trans- 

 formationsformel behandeln, und zwar wird mir die Gleichung (9) die 

 Veranlassung geben 



(19) x = a + — - 



s — c 



zu setzen. Dadurch werde ich allerdings genöthigt, einige Ausnahme- 

 fälle besonders zu untersuchen, aber ich gewinne andererseits den Vor- 

 theil, die Beschaffenheit der Function x bequem und einfach herauszu- 

 finden. Uebrigens werde ich aus dem gewonnenen Resultate in ganz 

 einfacher Weise die WEiERSTRASs'sche Transformation herleiten können. 



Da es sich zeigen wird, dass es für die Anwendbarkeit der 

 Transformationsgleichung (19) erforderlich und hinreichend ist, dass die 

 Gleichung 



(20) RQv) = ' ■ 



wenigstens eine einfache Wurzel besitzt, so leuchtet es also unmittelbar 

 ein, dass die Ausnahmefälle, welche besonders behandelt werden müssen, 

 die folgenden sind, nämlich: 



1) iMx) =. E{x-a){x-ß) , I ß _ ^ I > , 



2) SlR{x) = EÇ^x - a) , 



3) SR(œ) = E(,r. - a)' 



4) iR{x) = E , 



5) ^R{x) ^aBÇx-ay 



