ÜEBER ELLIPTISCHE FUNCTIONEN ZWEITEN GrADES. 9 



WO a , ß , E und B Constanten bedeuten und zwar E und B von Null 

 verschieden. 



Setzt man in den 4 ersten Fällen, welche dadurch gekennzeichnet 

 sind, dass ^R{x) eine ga7ize rationale Function oder eine von Null ver- 

 schiedene Constante ist, beziehungsweise 



1) ^^^ = (.^(«-^). , 

 X — p 



2) X —a = e"': , 



3) -A ^-Ev , 

 X — a 



4) x = Ev') , 



so geht in allen diesen Fällen die Gleichung (16) in 



dv = chi 

 über und ergiebt 



Wir haben also den Satz: 



Wenn ^B(x) entweder eine ganze rationale Function zweiten oder 

 ersten Grades oder eine von Null verschiedene Constante ist, so yieht es stets 

 eine analytische Function x iwn u. ivelche der Gleichung (16) Genüge ^leistet. 

 Diese Function ist eine elliptische Function zweiten Grades und zwar eine 

 rationale Function ersten Grades entioeder von einer Exponential/unction 

 <;*" , wo h eine gewisse von Nidl verschiedene Constante ist (nämlich wenn 

 die Gleichung (20) nur doppelte Wurzeln hat), oder von u selbst (nämlich 

 wenn dieselbe Gleichung (20) entweder eine vierfache oder gar keine 

 Wurzel besitzt). 



Den noch übrigen Ausnahmefall (5) könnten wir vermittelst einer 

 aus der Gleichung (10) entnommenen Substitution von der Form 



X = a -\- h s 



1) Wenn in diesem Falle 4) die Constante K = O wäre, so würde sich x =■ C 

 ergeben, wo C" eine willkürliche Constante bedeutet. Diese Annahme haben ynv doch 

 schon (Art. 3) ausgeschlossen. 



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