10 Matths Falk, 



transformieren (was man übrigens jedesmal thun kann, wenn E{x) vom 

 dritten Grade ist), um damit die Gleichung (16) in (18) umzuwandeln. 

 Obgleich die Ausführung dieser Transformation ein einfaches und nicht 

 uninteressantes Resultat ergiebt, verzichten wir dennoch darauf sie aus- 

 einanderzusetzen, besonders da sie auch mit einem speciellen Falle der 

 WEiERSTRASs'scheh Transformation genau zusammenfällt, und begnügen 

 uns mit der Behandlung des fraglichen Ausnahmefalles vermittelst der 

 einfachen Substitution 



^ =-]/B.v, 



y 30 — a 

 welche ') die Gleichung (16) in 



dv = du 1 



reduciert; und damit ist auch in diesem Falle nicht nur die Existenz einer 

 analytischen Function nachgewiesen^ loelche die Gleichung (16) befriedigt^ 

 sondern auch dargethan, dass diese Function eine elliptische Function zweiten 

 Grades ist und zwar eine rationale Function zweiten Grades von u. 



Gehen wir jetzt zu dem allein übrigen Hauptfalle über, wo die 

 Gleichung (20) mindestens eine einfache Wurzel besitzt. Dort wollten 

 wir in die Gleichung (15) die Substitution (19), d. h. 



a -j- 



s — c 

 einführen, woraus 



s = c -\ 



sich ergiebt. 



Aus (19) erhält man dann 



, . dx _ b ds 



du (s — cy du 



und wenn aus (19) und (21) die Ausdrücke von x und -^ in (15), d. h. in 



du 



1) Wenn man V-ß(x) = 2\B . (.?; — «)* setzt. 



