Ueber elliptische Functionen zweiten Grades. 13 



transformieren, wo S durch die Gleichung 



(27) S = 4:^'-!j,s-g, 



definiert ist, and zwar indem man die Constanten h , c , y.^ ^ g^ aus den 

 Gleichungen (26) berechnet^ wo a eine einfache Wurzel der Gleichung (20) 

 bedeutet. 



Hierbei ist ausserdem angenommeu, dass die Quadratwurzeln yj R{ic) 

 und VS in eindeutiger Weise definiert sind, und zwar ist dann der Werth 

 der einen von dem der anderen in einer gewissen Weise abhängig, was 

 aus den Gleichungen 



dx ds 



1 



\lR{x) V6' 



dx _ b _ (x — ay 



ds (s — cy b 



hervorgeht und die Beziehung 



(28) V5 = -^— ^, iW) oder ]/R(x) = _-*— V^^ .,. 



(x - ay (s — c) \5 



ergiebt. 



Da ferner — wie es Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen be- 

 wiesen — die Differentialgleichung (18) stets durch eine analytische Func- 

 tion s von u befriedigt wird, deren allgemeiner Ausdruck 



s^p{u — u,) 



ist, wo «0 eine willkürliche Constante bedeutet, so folgt aus (19), dass 

 die Gleichung {16)-, wenn R{x) eine ganze rationale Function höchstens vom 

 4"" Grade ist, und die Gleichung {20) mindestens eine einfache Wurzel be- 

 sitzt, stets durch eine analytische Function x von u befriedigt wird, deren all- 

 gemeiner Ausdruck 



b 

 x = a -\ 



ip{u — u,) — c 



ist. Diese Function x ist also eine elliptische Function zweiten Grades von 

 u, und zwar entweder eine doppelt periodische Function zweiten Grades oder 

 eine rationale Function zweiten Grades entiveder von einer Exponentialf unc- 

 tion e*" oder von u selbst. 



