14 Matths Falk, 



Es ist also jetzt in allen denkbaren Fällen sowohl die Existenz 

 einer analytischen Function a; von u nachgewiesen, welche der Gleichung 

 (16) Genüge leistet, wie auch für jeden Fall eine Methode gegeben, den 

 allgemeinen Ausdruck dieser Function zu finden. 



V. 



ZUSAMMENFASSUNG DER EESULTATE. 



Die Ergebnisse der in den Art. 3 und 4 auseinandergesetzten Un- 

 tersuchungen können folgendermassen zusammengefasst werden: 



Jede elliptische Function x zweiten Grades leistet einer Differential- 

 gleichung von der Form 



] dx 



du = 



Genüge, wo B{x) eine ganze rationale Function^ deren Grad höchstens gleich 

 4 ist, oder eine von Null verschiedene Constante bedeutet; und umgekehrt 

 ist auch jede analytische Function x, welche einer solchen Differentialgleichung 

 genügt, eine ellijJtische Function zweiten Grades. 



Die Gesammtheit der ellij^tischen Functionen zweiten Grades bildet 

 eine genau abgesonderte Classe derjenigen Functionen von z«, welche überall 

 im Endlichen den Charakter rationaler Functionen besitzen; und zwar unter- 

 scheiden sich die Functionen dieser Classe von allen übrigen durch die Eigen- 

 schaft, dass sie einer Differentialgleichung von der eben genannten Form ge- 

 nügen. 



VI. 



HEKLEITÜNG GEWISSER EIGENSCHAFTEN DER ELLIPTISCHEN FUNCTION x 

 AUS DER BESCHAFFENHEIT DER WURZELN DER GLEICHUNG (20). 



Wir wollen jetzt den Zusammenhang zwischen der Beschaffenheit 

 der Wurzeln der Gleichung (20) und gewissen Eigenschaften der ellip- 

 tischen Functionen zweiten Grades nachweisen, und zwar indem wir fol- 

 gende Sätze beweisen, nämlich: 



