Ueber elliptische Functionen zweiten Grades. 15 



A) Die Function x, welche der Gleichung (16) genügt, ist dann und 

 nur dann doppelt periodisch, wenn die ganze rationale Function R{x) vom 

 5'™ oder 4'™ Grade ist, und die Gleichung 



(20) B{.v) = 



lauter einfache Wurzeln besitzt. 



B) Wenn der Grad der ganzen rationalen Function R{x) eine beliebige 

 ganze Zahl < 4 ist., und die Gleichung (20) wenigstens eine zweifache 

 (keine drei- oder vierfache) Wurzel besitzt, so ist die Function x eine 

 einfach periodische und zwar eine rationale Function zweiten oder ersten 

 Grades von é*", wo h eine von Null verschiedene Constante bedeutet. 



Hat dagegen die Gleichung (20) eine drei- oder vierfache Wurzel, 

 oder reduciert sich R(x) auf eine von Null verschiedene Constante, so ist 

 die Function x eine rationale Function von u zweiten oder ersten Grades. 



Diese rationale Function — sei es von e''" oder von u — ist dann 



und nur dann vom ersten Grade, wenn yR(x) eine rationale Function von 

 X, oder eine von Null verschiedene Constante ist. 



Da für die im Vorhergehendeu besondei-s behandelten Ausnahme- 

 fälle das, was sie von diesen Sätzen betrifft, schon dort bewiesen worden 

 ist, so brauchen wir hier nur den Fall ins Auge zu fassen, wo die Glei- 

 chung (20) mindestens eine einfache Wurzel besitzt. 



Um grössere Einfachheit zu gewinnen nehme ich an, dass die in 

 den Gleichungen (26") angewendete einfache Wurzel a der Gleichung (20) 

 gleich Null ist, was sonst stets erreichbar ist durch eine Substitution 

 von der Form 



X — a = X . 

 Alsdann ist .4' = , B' von Null verschieden, und wir haben 

 (29) R (x) = A ,»/ + 45 x' + 6 Cx' + AB'x = x R, (x) . 

 Die Gleichimgen (19), (18), (27) und (26) ergeben dann 



B' 



(30) 



X 



?c 



