16 Matths Falk, 



du = -L- , 6' = 4s^ — (72* —ffi 1 



(31) g,^BC'-4:BB', g, = 2 BCB' - AB" - C . 



Aus den beiden letzten dieser Gleichungen erhält man 



(32) gl - 27 gl = B"{3QB'C' - 6åB'B' - 27 A'B"' + lOS ABB'C- 54. AC'} . 



a) Ist dann zunächst R(x) vom 4""' Grade, d. h. A von Null ver- 

 schieden, so ergiebt sich aus der Gleichung (32) 



gl - 27 g'i = -B''J , 

 •' A ' 



wo J die Discriminante der Gleichung dritten Grades: 



(33) i?3W = 



und l einen Zahlencoefficienten bedeutet. 

 Hat dann die Gleichung 



(20) R{x) = 



lauter einfaclie Wurzeln, so sind auch die Wurzeln der Gleichung (33) 

 alle einfach und folglich /J von Null verschieden. In diesem Falle ist 

 also gl — 27 gl nicht gleich Null, und folglich ist dann (f){u) und somit 

 auch œ eine doppelt periodische Function. 



Hat dagegen die Gleichung (20) mindestens eine mehrfache Wurzel, 

 so hat auch die Gleichung (33) eine mehrfache Wurzel; folglich ist dann 

 J=0, weshalb in diesem Falle die Function p(u) und somit auch x 

 entweder einfach periodisch oder gar nicht periodisch ist. Um dies näher 

 zu untersuchen, nehmen wir an, die Gleichung (33) habe zwei Wurzeln 

 = a , und lassen es vorläufig unentschieden, ob ihre dritte Wurzel, die 

 wir mit ß bezeichnen, von a verschieden sei oder nicht. Alsdann hat man 



B,(a;) = Aar" - A(2a + /5).r^ + Aa(a + 2ß),v - Aa'ß 

 und folglich 



-Ä(2a + ß) = 4:B . Aa(a+2ß) = 6C\ -Aa'ß^AB', 

 woraus man 



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gl -27 gl ^.0 



