Ueber elliptische Functionen zweiten Grades. 17 



folgert. Da x — eine einfache Wurzel der Gleichung (20) ist, sind a 

 ■und ß beide von Null verschieden. Da ferner die Grössen g.^ , g^ dann 

 und nur dann gleich Null sind, wenn ß = a ist, d. h. wenn die Gleichung 

 (20) eine dreifache Wurzel besitzt, so finden wir aus den bekannten 

 Eigenschaften der Entartungen von p('i)i df*ss die Function x jetzt eine 

 rationale Function zweiten Grades ist entweder von einer Exponential- 

 function e''" oder von u selbst, je nachdem die Gleichung (20) eine nur 

 zweifache oder eine dreifache Wurzel besitzt. 



b) Wenn dagegen R(x) vom 3'"' Grade, d. h. ^ = , j 5 | > ist, 

 haben wir statt (29) und (31) die Gleichungen 



R(^x) = 45a;' + 6 C^'^ + 4:B'x = xR,{x) , 

 g, = 2,C--ABB' , ç/^ = 2BCB'-C' , 

 ffl — 27 çfi=4.B'B'' (9 C -ÜB B') . 

 Aus der leicht zu erhaltenden Gleichung 



BR,{x) = (25^ + ~ 6')' - - (9C- - IßBB') 



ergiebt sich dann, genau wie im vorigen Falle, das Resultat, dass, wenn 

 die Wurzeln der Gleichung (20) alle einfach sind, die Function x eine 

 doppelt periodische ist. Wenn aber die Gleichung (20) eine mehrfache 

 W^urzel besitzt, kann dieselbe nur eine zweifache sein, und dann ist 

 ^l — 21 gl = , aber — wie ma,n leicht findet, da B und B' von Null 

 verschieden sind — weder g^ noch ^3 gleich Null, weshalb in diesem 

 Falle X eine rationale Function zweiten Grades von einer Exponential- 

 function e^" ist. 



c) Ist R{x) vom 2"" Grade^ so hat man | C | > und 



R{x) =i %Ca^ + 4:B'X = X{&CX + 4:B') , 



g, = 2,C'- , g, = -C' , ^^-27.9^ = , 



folglich ^2 und g^ von Null verschieden. Alsdann ist also x eine ratio- 

 nale Function zweiten Grades von einer Exponentialfunction e*". 



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