20 Matths Falk, 



eine Grösse ß , so nimmt die Gleiclinng (35) die Form 



^_ b 



PO* — «o)-F(/^) ' 

 d. h. 



X" = 6 



a'(u — u„) 



o{u — «0 — l:l)a(u — u^ + j:l) 



an, wo b' eine von Null verschiedene endliche Constante ist. Die voll- 

 ständigen Systeme von Null- und ünendlichkeitsstellen der Function ,r,. 

 die wir nochmals mit «i , a^ und bi , b^ bezeichnen, sind dann offenbar 

 gegeben durch die Gleichungen 



«i = a, = i/,„ , 6i = «0 + ß , ^'2 = «0 — ß • 



Die Function x hat also in diesem Falle eine doppelte Nullstelle u^ und 

 diese halbiert die Gerade, welche die ünendlichkeitsstellen b^ und b^ verbindet^ 



Ist die elliptische Function zweiten Grades einfach periodisch, sa 

 ergiebt sich aus dem Vorhergehenden, dass ihre primitive Periode 2a> 

 durch die bekannte Gleichung 



*^2co/ 2(/2 



berechnet werden kann, weil 2co alsdann die primitive Periode der ein- 

 fach periodischen Entartung der Function p{u) ist. Dieses Resultat 

 haben wir jetzt allerdings nur für den Fall bewiesen, dass die Function 

 X durch diese Entartung von p[u?j vermittelst der Gleichung (9) aus- 

 drückbar ist, d. h. wenn die Gleichung (20) mindestens eine einfach© 

 Wurzel besitzt. Das Resultat ist jedoch von dieser Bedingung unabhän- 

 gig, weil — wie wir weiter unten sehen werden — die WEiERSTRASs'sche- 

 Substitution für jede elliptische Function zweiten Grades gültig ist. 



Die Null- und Unendlichkeitsstellen der einfach und der nicht pe- 

 riodischen elliptischen Functionen zweiten Grades können ohne Schwie- 

 rigkeit berechnet werden, nachdem man die Functionen auf die Form 

 (4), beziehungsweise (6) gebracht hat, was unmittelbar einleuchtend ist. 



