Uebee elliptische Functionen zweiten Grades. 21 



VIII. 



HEELEITÜNG DEK ALLGEMEINEN WEIERSTRASS'SCHEN TRANSFORMATION 

 AUS DER IM ART. 4 GEGEBENEN. 



Wir wollen jetzt die WEiERSTRASs'sche Transformationsformel her- 

 leiten und zwar zunächst unter der Voraussetzung, dass die Gleichung 

 (20) mindestens eine einfache Wurzel besitzt. Dies geschieht dadurch, 

 dass man in der im Art. 4 bewiesenen Transformationsffleichuno- 



(9) X = a-\- 



die Grösse u^ so bestimmt, dass mau 



X = a\ für u = 



erhält, wodurch also x^ als willkürliche Constante statt ?<„ eingeführt 

 wird. Setzt man dann vorläufig zur Abkürzung ■ 



(36) x — a='§, .i'o _ a = i'o , 

 so ergeben sich aus (9) die Gleichungen 



(37) p{u — iQ = c + - , piiQ = c -j- -_ . 



Uebrigens haben wir auch 



h dx 



(38) p\u ._ u,) = _ J^ iii: = _ ^ Vit;(a-) , p'(«o) = + ^ Vi?(.t-o) . 



s du b' $5 



Wir bezeichnen jetzt mit s (nicht die Function g){u — u^^ wie es 

 im Vorhergehenden geschehen ist, sondern) die Function p{ii) selbst, und 

 erhalten dann aus dem bekannten Additionstheoreme dieser Function die 

 Gleichung 



s = ç?{u~u^ + 2<J = 



(2p(w — Wo)K«o) - 2 ^äj |f(« — Wo) + $^(wo)j -9i — p'{u - «o)f'K) 



2{f("-"o) — F(wo)}' ' 



