28 Matths Falk, 



Bei der von Herrn Weierstrass gegebenen Herleitiing ') der in den 

 Gleichungen (40), (42), (57) und (58) enthaltenen Transformationsmethode 

 wird vorläufig angenommen, dass R{x) vom 4'"" oder 3*™ Grade ist. Aus 

 dem hier gegebenen Beweise derselben Methode geht ohne weiteres her- 

 vor, dass sie jedenfalls anwendbar ist, wenn der Grad von R(x) höch- 

 stens = 4 ist, und die Gleichung 



(20) R{x) = 



mindestens eine einfache Wurzel besitzt, wobei jedoch ausserdem still- 

 schweigend angenommen wurde, dass R{xf) einen von Null verschiedenen 

 endlichen Werth besass. Eine einfache üeberlegung zeigt jedoch, dass 

 die Weierstrass'sc/i^ . Transformationsmethode stets anwendbar ist, wenn 

 RQv) eine von Null verschiedene Constante oder eine ganze rationale Func- 

 tion von X ist, deren Grad höchstens = 4 ist, wobei nur die einzige Bedin- 

 gung hinzuzufügen ist, dass die übrigens willkürliche Grösse x^ keine 

 mehrfache Wurzel der Gleichung {20) sein darf. 



IX. 

 SCHLÜSSBEMEKK UNGEN. 



Der Ausdruck (1) ist bei der Definition der elliptischen Function 

 zweiten Grades als der ursprüngliche anzusehen, weil daraus die Ent- 

 artungen vollständig hervorgehen; er ist aber nur in dem Falle durch 

 den Ausdruck (8) ersetzt worden, wo es sich um die Herleitung der 

 Differentialgleichung der elliptischen Functionen zweiten Grades handelte. 



Das anscheinend überraschende Resultat, dass aus der Gleichung 

 (8) die Entartungen nicht vollständig hervorgingen, erklärt sich dadurch, 

 dass wir bei deren Herleitung aus (8) die beschränkende Annahme ge- 

 macht haben, dass Uq , A, B, A' , B' von den Perioden der Function 

 <p{u) unabhängig sein sollten; lässt man aber diese Beschränkung weg, 

 so müssen selbstverständlich die Entartungen auch aus der Gleichung 

 (8) vollständig hervorgehen. 



1) Da diese Herleitung vou der Theorie der ^t>-F unction unabhängig ist, hat 

 Herr Weieestkass sie auch dazu anwenden können, die J3-Function aus der Diffe- 

 rentialgleichung herzuleiten. 



