Ueber elliptische Functionen zweiten Grades. 29 



Die im Art. 4 gegebene Transformationsmethode zeichnet sich 

 allerdings durch ihre Einfachheit aus; sie ist jedoch nicht allgemein an- 

 wendbar, da sie der beschränkenden Bedingung unterworfen ist, dass 

 die Gleichung (20) mindestens eine einfache Wurzel besitzen muss. Sie 

 gewährt jedoch den Vortheil, dass sie die Eigenschaften der elliptischen 

 Functionen zweiten Grades aus der Beschaffenheit der Wurzeln der 

 Gleichung (20) in ganz einfacher Weise hervorgehen lässt, wie wir es 

 im Art. 6 gesehen haben, und auch dass sie die Null- und Unendlich- 

 keitsstellen der Function ganz einfach ergiebt (Art. 7). 



Aber erst durch die Weierstrass'.scÄ6 Tran-sformationsmethode ^) ist 

 die volle Allgemeinheit erreicht. In practischer Hinsicht könnte allerdings 

 die Methode des Art. 4 als ausreichend betrachtet werden. Aber in 

 functionstheoretischen Untersuchungen darf man nicht bei nur practisch 

 hinreichenden Resultaten stehen bleiben; im Gegentheil ist es hier von 

 fundamentaler Wichtigkeit allgemein gültige Resultate zu suchen. Diese 

 Anforderungen sind nun von der WEiERSTRASs'schen Transformations- 

 methode genau erfüllt. In practischer Hinsicht stellt sich aber die Sache 

 bei dieser Methode so, dass sie eigentlich nur dann eine wirkliche Verein- 

 fachung der Differentialgleichung (16) gewährt, wenn die Gleichung (20) 

 lauter einfache Wurzeln besitzt und Rijc) vom 4'"° oder S'"" Grade ist; 

 denn in übrigen Fällen kann grössere Einfachheit durch andere Substi- 

 tutionen gewonnen werden, wie beispielsweise im Art. 4 bei der Behand- 

 lung der Ausnahmefälle gezeigt worden ist. 



Zu den allgemeinen Resultaten des Art. 5 fügt also die Anwen- 

 dung der WEiERSTRASs'schen Transformationsmethode folgendes hinzu: 



Jede Differentialgleichung von der Form 



da; 



du = 



VäW 



wo i?(a;) entweder eine von Null verschiedene Constante oder eine ganze ratio- 

 nale Function von x, deren Grad höchstens = 4 ist, bedeutet.^ lässt sich stets 

 durch die WEiERSTRASs'sc/te Transformation auf die Form 



J(t = ^ , »S = 4S^ — QoS — Oo 



V5 ' ^" ^ 



1) Diese Methode gewährt übrigens den grossen Vortheil, dass sie keine 

 Kemitniss von den Wurxeln der Gleichung (20) erfordert. 



