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des combinaisons des indices r et s de 1 à n, c'est-à-dire par les combinai- 

 sons 12 , 13 , . . . j 1 n , 23 , . . . , 2 n , . . . , (/i — 1) ?i . 

 Pour 71 = 3, on trouve, par la multiplication, 



(A2 + A3)(n2 + '13) = A2^12j"2 + ^nhif^S + -^l3^12/"'2 + As ^13/"3 1 

 \^2l + -^23) (*3« + ^23) = •^21^21/'^1 + -^2l^23/"'3 + -^23 ^21/"! + ^izKiH'i 1 

 (-^31 + -^32) (4l + '32) = -^31^31/"'l + •^31^32j"'2 + ^SihlM-l + -^32^32/"2 " 



En ajoutant ces égalités, on trouve, à l'aide de la condition (14), 



3 



Donc la formule (15) est vraie pour n = 3 . 



Supposons maintenant que la formule (15) soit vraie pour un cer- 

 tain indice ?i; alors nous en démontrerons la vérité pour l'indice {n -\- 1). 



En effet, les sommations s'étendant de s = 1 à s = ?ï , on a, par 

 la multiplication, 



{^ ^U + A{n+l))(-2tlj + l'Un + l)) = ^Lis^lu + 2 LiJun + l) + -^IJn + l) (-^' 'is + 'l,«+l)) 1 

 (J'-Ljs -}- -t^2(„+i)) (^ f 25 -(- t2(n+l)) = 2 L-is^k, + 2 Lishin + l) "l" L-2^7i+l) {^ hs + ^n+lj) 1 



î 



V-*-^nj + -^n(n+l)) C-^ 'ns + 'jifn+l)) = 2 fj^ 2 l„s -\- 2 L^^l^^n+X) "h ^n(n + l)(-^ 'ns + Sn + l)) ) 

 vAn + l)l + A"+l;2 + • • ■ + An+I)n)-^^(« + l)s = A«+1)I -^ ^(" + 1)» + An+1)2 •2''(n + l)j + 



• • • -|- -^(M + l)ji-2't(n+l)s • 



Dans ces développements, les n premiers termes de dessus de la 

 première colonne verticale forment, d'après la supposition, la somme 

 (^"•i +i"2+ • • • +,«„)^(Zi„0 ; ensuite, à l'aide de la condition (14), les 



n 



n premiers termes de dessus de la seconde colonne verticale, puisque 

 AïAcb+d + Ai4(«+i) = A*«+i-^i2^2 etc., forment la somme ^„+i2'(-£„A,„) ; 



n 



enfin les termes restants, puisque X„„+i)(^/,, + /,(„+i,) + A«+in-^^(«+i)» = 



L(n+in{2{kn+iis - lu) — im+i)] = (a*i H h ^n+i) An+i)i ^(«+1)1 ^t^-' formcnt la 



somme {f^i + u^ + • • • -h ^^n+l)2{L,„+^^sl^„+,■„) . Donc, la somme totale est 

 (/*i + /"2 + b f^n+i) 2 {L^,X,,) , et ainsi la vérité de la formule (15) se 



"+i 



