16 Göran Dillner 



Trois arguments indépendants dans la fonction elliptique ^. 



14. Ayant les inversions elliptiques [III (139)] 



(37) x,^ snii, (r = 1 , 2, 3) 

 ^t en même temps [III (235)] 



(38) zfj -j- u^ -j. Uj = 

 et par suite 



(39) —x^ = sn(z<, + 11.^ , 



nous établissons la forme suivante de la variable indépendante a, 



(40) a = sn(z7i, + «) = — — , 



Åsna 



les périodes de s nu étant 47v et 2 /A*,; alors les trois arguments elliptiques 

 indépendants sont « , m, , u^ . 



15. En remplaçant dans (35) ,rj , x.^ , P(^'i)* , PÇ'Ci)'^ respective- 

 ment par sn«! , snwa, sn'i/j, sn'ua, on obtiendra, à l'aide de (39), le 

 théorème d'addition des inversions (37) sous la forme bien connue 



/^iN y , V snw.sn'ffo 4- snMoSii'wi 



(41) — sna, = sn('«, + uS) = î f-T ? 1 . 



16. La fonction Ä dans l'identité (36), exprimée en les trois 

 arguments elliptiques indépendants a , iii , v^ , se mettra sous la forme 



(42) ^(a , .. , ., , .3) = / r ^^^^. = - ^^ log ^^4^ , 



^ a ' 



la fonction Ä étant synectique en tout point du plan au dehors des in- 

 finis multiformes î'/JT, + a = «, (r = 1 , 2 , 3) [n" 12]. De là on tirera la 

 conclusion importante que, pour u, , Uj , Uj variant^ entre — oo et -f oo , 

 sur l'axe réel et a sur la parallèle menée j)ar le point ± iKj, la fonction Ä 

 est réelle et synectique pour tous points de ces droites. 



Ces droites seront nommées droites de synecticité de la fonction ^ 

 qui elle-même sera dite fonction elliptique à trois arguments iîidépendants. 



