6 A. Berger, 



De même on peut conclure de l'équation (23), que les coefficients A^ 

 seront tout-à-fait indépendants de la fonction /(:r), et qu'ils dépendront 

 seulement de la fonction (p(x) et des valeurs interpolées a^j , x^ • . . ■ Xn ■ 



Théorème II. Désignons par f (x) ime fonction finie et continue de 

 la variable réelle x dans l'intervalle 



a < X <b , 



où a et h sont des quantités finies ou infinies., mais difi'érentes entre elles; 

 et soit y(x) une fonction de x, qui jouit des propriétés, que les intégrales 

 définies 



I fp{oo)f{x)dx , / ip{x)G{x)dx , 



Ja Ja 



où G(x) est une fonction entière et rationnelle quelconque ., aient des valeurs 

 finies et bien déterminées; désignons par n un nombre entier positif quel- 

 conque et par x, , Xg , . . . . x„ n quantités réelles, différentes entre elles et 

 situées dans l'intervalle sus-dit; en faisant 



f 



^y a 



FÇx) = (x — Xi) (x — Xi) .... (_X — Xn) , 



on aura la formule approximative 



\{x)f{x)dx=.'z A4\x,) . 



k = l 



OÙ les coefficients A^ sont déterminés par la formule 



j, _ r <p(^) F{x) ^^ 



Ja r {Xk) X — Xi- ' 



Maintenant nous calculerons l'erreur, qu'on commet en employant 

 la formule approximative du théorème précédent. En désignant cet 

 erreur par ^„ , on a évidemment 



(24) J„ = {\{x)f{x)dx - l A,f(xi) . 



Ja < = 1 



Si la fonction f{x) peut être développée en série 



r=oo 



(25) fix) = 2 c.r" 



r=0 



