Sur l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 7 - 



qui subsiste pour toutes les valeurs de la variable x, qui appartiennent 

 à l'intervalle a < x < b ^ on obtiendra de l'équation (24) 



/•& r=co k=n r=co 



(26) -^„ = ( ff(x) I c,,xV/,î;_ 2 ^ Z c. 



ou 



-6 i = n 



(27) -^„ = .2 t% j ) ip{.c)x'clx - Z ^^.4 



/■=0 ■-• a i = l 



formule, qui peut s'écrire 



(28) J^Jlc^K,, 



r = 



où les quantités K^ sont données par l'équation^ 



(29) K, = [' ip [x] x' d X - Z' A,xl . 



>- a i = l 



En y substituant la valeur de A^^ déterminée par l'équation (23), 

 nous en obtiendrons la formule 



(30) K, = fcpix) \x' - ï ^^ . -=?^ j dx , 



qui subsiste pour 7- > . Cette expression de la quantité A^ peut être 

 transformée de la manière suivante. Soit r un nombre entier positif ou 

 nul, et divisons la puissance x'" par la fonction entière et rationnelle 

 F{x)., dont le degré est égal à n; en désignant par Q^x) et R(x) le 

 quotient et le reste, qu'on obtient par cette division, Q^ix) et R(x) 

 seront des fonctions entières et ratiounellob de la variable x, et le degré 

 de la fonction R(x) sera évidemment tout au plus égal an — 1 . Quant 

 au quotient Q^Çx)^ on aura 



(31) QXx) = 



pour r <n — 1 , mais pour r > n le degré du polynôme Qr[x) sera égal 

 à r — n . De ce qui précède résulte aussi l'identité 



(32) x^ = F{x)QXx) + R{x) . 



