Sur l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 9 



Théorème III. Si la fonction f(x) peut être développée en série or- 

 donnée suivant les puissances croissantes de x, telle que 



r=fi 



pour a < X < b ^1 l'erreur J„, qu'on commet en employant la formule d'ap- 

 proximation du théorème II., sera donnée par la formule 



où les quantités K^ sont déterminées de la manière suivante. Si l'on désigne 

 p)ar Qr(x) le quotient., qu'on obtient en divisant la puissance x' paj' le poly- 

 nôme F(x), on aura 



ä;= r ip{x)F{x)Qr{x)dx . 



Dans les cas, où f{x) est une fonction entière et rationnelle de 

 la variable ^r, dont le degré est au plus égal à 7i — 1 , la formule approxi- 

 mative du théorème II donne un résultat exact; en effet, dans ces cas 

 les coefficients c„ , c„+i , c„a.2 , . . . . s'annuleront, et du théorème III on 

 conclura 



(40) ^„ = . 



Des théorèmes généraux, que nous avons démontrés dans ce qui 

 précède, nous déduirons quelques formules spéciales pour l'évaluation 

 approchée des intégrales définies simples. 



§ 3. 



Dans ce paragraphe nous déduirons du théorème II la méthode 

 d'approximation, donnée par Newton et Cotes. En supposant, que 

 ?i > 2 , et en y faisant 



(41) a = , 6 = 1. (fix) = 1 

 et 



(42) X, ^-^ 



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Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



