SuK l'Évaluation approchée des intégrales définies simples. Il 

 c'est à dire 



Vî— l^ (n — 1)"-' 



pour Ä: = 1 , 2 , 3 , . . . ?z . En appliquant les formules (46) et (50) à 

 l'équation (45), nous en déduirons 



(51) A = (— 1)"'" Ç' (nx — a:)(n.'c — X —l)... .(nx - X — n ^l) ^^^ 



^ ' ' [ -Çic-) I In — k+i)J„ nx — X — k + 1 



Des formules (44) et (51) nous obtiendrons le théorème suivant. 



Théorème IV. Désignons par f(x) une fonction finie et continue de 

 la variable x dans l'intervalle 



< a- < 1 , 



et par n im nombre entier positif, supérieur ou égal à 2, on aura la for- 

 mule approximative 



rfix)dx=iA,f{^-zi) , 



.'o x=i ^n — i^ 



où les coefficients A^ sont déterminés par la formule 



. ( — 1)"^* p (71X — x)(nx — X — 1) . . . . (rix — x — n + 1) , , 



* ~ I{k) l \n — k -{- l) Jf, nx — X ~ k ^ l 



Si la fonction f{x) peut être développée en série de la forme 



(52) /(a:) = c« + c, ,r + c,x' + c,x' 



pour < X' < 1 , nous obtiendrons d'après le théorème III l'erreur J„ 

 qu'on commet, en faisant usage de la formule d'approximation du théo- 

 rème précédent, par la formule 



(53) J„ = Y cj{,. , 



r=n 



où l'on aura, conformément aux équations (41) et (46), 



(54) a; = f\ L — --) . . . L -^ ^^4) ('^ - 1) Q' W^^* ' 



. n ft — — i /* i 



