Sur l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 15 



ou 



.,(2k- 1\ (- lf-'r{k)nn -k+l) 



(77) F' 



2n 



Par application des équations (73) et (77) à l'équation (72), nous 

 en obtiendrons 



.7o^ , (- 1)"-' n (2nx-l)(2nœ-3) . . . (27iw-2n + l) , 



^ ^ ' 2"-i l\k) r{n — k-\-\)X 2nx-2k + l ' 



et des équations (71) et (78) résulte le théorème suivant. 



Théorème VI. Soit f (x) une fonction finie et continue de la variable 

 X dans Uintervalle 



et désignons par n un nombre entier positif quelconque, on aura la formule 

 approximative 



oh les coefficients Ai, sont donnés par la formule 



^ (— 1)"-* r{2nx — V){2nx — 3) . . . (2nx — 2n + 1) , 



- * - 2^iTp)7Xn^rT^ny J, 2nx — 2k+ 1 



Supposons, que la fonction f{x) soit développable en série con- 

 vergente pour < « < 1 , de sorte que l'on ait 



(79) f{x) = c, + C, ,; + C, x' + '-3 x'+ , 



et désignons par J„ l'erreur commise en employant la formule d'approxi- 

 mation ci-dessus, nous aurons conformément au théorème III 



(80) J„ = Y cv^. , 



où les quantités K^ sont déterminées par la formule 



(81) K. = ['(a. - 1-) L. - f) . . . . (.. - ^^) Qr(x)dx , 



Jq ^ 2n' ^ 2n' \ 2n ' 



