18 A. Bekger, 



Cn{x) et S„[x) seront évidemment des fonctions entières et rationnelles 

 de la variable x du «'*'"' degré. Pour n = , 1 , 2 , 3 , 4 nous aurons 



(96) C, {x) = 1 , Cl (.r) = x, C, (x) = 2^-^-1, C,{x) = 4: œ' -Sx , 



C,{x) = Sx' - 8x' + 1 , C,{a) =lßx'- 20^' + 5x 



et 



(97) S, (x) = 1 , 5, (,:) = 2:c , S, (.) = 4x' - 1 , 5, (a-) = 8 ^-^ - 4 a; , 

 S,(^) = 16«* - 12.x'^ + 1 , S,(x) = B2x' - S2x' + 6x . 



De plus nous obtiendrons 



(98) (;„(0) = cos ^ , C„(l) = 1 , C„(- 1) = (- 1)" 



et 



(99) S,.(0) = cos !^ , 5„(1) = n + l , 5„(- 1) = (- ITQi + 1) . 

 Pour îî ^ on obtiendra des équations (95) la relation 



(100) c„+,(xr + ci--x')s,xxr = i , 



et pour n^ 1 nous en déduirons les formules de recursion 



(101) 6;+, {x) = 2xC„ {x) - C„_i (a;) , S„+, (x) ^ 2xS„ {x) - 5„_, (j^) , 



au moyen desquelles on peut calculer successivement les fonctions C„(x) 

 et Sn{x). Des équations (101) on conclura sans difiiculté, que pour w ^ 1 

 le coefficient de .ï" du polynôme C„{x) sera égal à 2"""', et que le coeffi- 

 cient de a;" du polynôme S„{x) sera égal à 2". 



D'après les définitions (95) les racines du polynôme C„(.t) sont 

 données par la formule 



(102) .. = cos.^2^--l)" 



2n 



en y faisant â; = 1 , 2 , 3 , . . . ?i ; de même on obtiendra les racines du 

 polynôme Sn[x) de l'équation 



kn 

 (103) X, = cos 



?î -f 1 



