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qui subsistent pour tous les nombres entiers m et ?z, qui satisfont aux 

 inégalités 



(113) m > , ?i > , m ^ n . 



Soit r un nombre entier positif ou nul, et désignons par Gr{x) 

 une fonction entière et rationnelle quelconque du ?•""" degré. Puisque 

 les polynômes C^{x) et *S„(^) sont du m'*"" degré par. rapport à la va- 

 riable a;, on pourra évidemment mettre la fonction GXx) sous les deux 

 formes 



(114) G rix) = Z amC^ia!) , Gr{x) = Z 6„ 5„ (j:) , 



711--= ?ll = 



où les coefficients a,„ et b^ sont des quantités constantes. De ces équa- 

 tions on tire 



(115) r AM£Oi ^^, ^ Y a. r ^4å£^ d* 



j-i vi_x' ™=o ^-1 Vi — it' 



et 



ri m=r fl 



(116) G,.(x)S„{x)il-x-'dœ^ lb„, S,,{x)S„{x)il-x'dœ . 



Cela établi, supposons que Q <r <n — 1 . En appliquant les for- 

 mules (111) et (112) aux intégrales définies, qui se trouvent dans les 

 seconds membres des équations (115) et (116), nous en déduirons les 

 deux formules 



(117) C:^M£^dx = o 



et 



(118) r Gr(.x')SXx)il - x'dx = , 



qui subsistent pour toute fonction entière et rationnelle Gr{x)^ dont le 

 degré r satisfait aux inégalités 



(119) 0<r < n-1 . 



Outre ces propriétés des fonctions C„{x) et S„{x) nous mentionnons, 

 que la fonction y = C„{x) satisfait à l'équation différentielle 



