28 A. Berger, 



Théorème VIII. Soit f(x) une fonction finie et continue de la va- 

 riable X dans Vintervalle 



-1 £x£ 1 , 



et désignons par n un nombre entier positif, on aura la formule approxi- 

 mative 





V 



Supposons, que l'on puisse développer la fonction f{x) en série 

 de la forme 



(162) f{x) = c, + c, X + c, x^ + C3 .ï^* + 



pour — 1 < a; < 1 , et soit ^„ l'erreur commise en emploj'ant la formule 

 d'approximation sus-dite, on aura conformément au théorème III 



(163) z^„ = T ^,/C , 



où les quantités K^ sont déterminées d'après les équations (141) et (144) 

 par la formule 



(164) /C = 2^-" r ^"^^'^^'•^^^ dx , 

 ^ ^ ■ J-. Vl -x' 



où l'on désigne par Q^x) le quotient obtenu en divisant la puissance x'' 

 par le polynôme du n'*"" degré 2'~"C„(a;). Pour les nombres entiers r, 

 qui satisfont aux inégalités 



(165) n < r ^ 2n— 1 , 



le degré du quotient Qr{x) sera inférieur ou égal à îî — 1 , et en appli- 

 quant la formule (117) au second membre de l'équation (164), nous en 

 obtiendrons 



(166) K, = 



pour ces valeurs de r, et par suite nous déduirons de l'équation (163) 



(167) ^„ = Y c,K^ , ^ 



