Sur l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 33 



Théorème X. Si l'on désigne par f (x) une fonction finie et continue 

 de la variable x dans l'intervalle 



— 1 < a; < 1 , 



et par n un nombre entier positif ou nul, on aura la formule approximative 



^-1 " ?i+l *=i n + 1" V n4-l^ 



Supposons, que la fonction f{x) soit, développable en série con- 

 vergente pour — l < X < l 1 de sorte que l'on ait 



(195) f{x) = 6-0 + c,x + c, :^ + c,x'-\ , 



l'erreur z/„, qu'on commet en faisant usage de la formule d'approximation 

 sus-dite, sera donnée d'après le théorème III par l'égalité 



(196) J„=.YcJ<,., 



où les quantités /C sont déterminées d'après les équations (173) et (176) 

 par la formule 



(197) K^ = 2-" r Vl - x' S„ {x) Qr{x)dx , 



en désignant par QXx) le quotient obtenu en divisant la puissance x"" 

 par le polynôme du ?2''*"" degré 2'" S„{x) . Pour les nombres entiers r, 

 qui satisfont aux inégalités 



(198) n<r K'in — l , 



le degré du polynôme Q^x) sera évidemment inférieur ou égal k n — 1 , 

 et en appliquant la formule (118) au second membre de l'équation (197) 

 nous en déduirons 



(199) â; = 



pour ces valeurs du nombre ?', et il s'ensuivra de l'équation (196) 



(200) J„^ Z c,.K, . 



r=2n 

 Nova Acta Reg. Soc. Sc. ups. Ser. III. 5 



