Sur l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 35 



(207) Po(.r) = l, P.(.r) = ^, P,(^) = 1^-^-1, P3(,r)=|,r«_|.. , 



Si l'on applique le théorème de Rolle à l'équation 



(208) C^-l)" = , 



qui a n racines égales à — 1 et n racines égales à + 1 , nous trouvons, 

 que l'équation 



(209) Pn(.r)=0 



n ses n racines réelles, inégales et comprises entre — 1 et + 1 . 



Puisque le coefficient de .r" dans le polynôme P„{:r) est égal à 



1 . 3 ■ 5 . ■ . (2?^— 1) 

 1 . 2 . 3 . . . î. 



d'après la définition (206), ce polynôme peut s'écrire 



(210) F„ (,r) = l-3---(2n-l) ^^ ^^ _ ^^^ ^ 



1.2...?? i=i 



si l'on désigne par a-j , x^ , . ■ . Xn les racines de l'équation (209). 



En définissant z comme fonction de la variable x au moyen de 

 l'égalité 



(211) ** = (/_l)" , 



nous en obtiendrons, par differentiation logarithmique, 



(212) {x^.-l)'^-2nxz = 



ax 



et, par conséquent, 



(213) 



rf»+> j(/_l)^( 



dx 



-2. ^^""C'---) =0 

 ,1 ,."+1 



a X" ■ " d x" 



ou, d'après la formule de Leibnitz, 



(214) (■'■•- 1) ^Ä + 2« |;^-»(" + 1)^=0 



