56 A. Berger, 



Des équations. (211) et (214) nous conclurons, qu'on satisfera à 

 l'équation différentielle 



(215) (./_l)^ + 2^^_«(rï+l)y = 



dx dx 



par la fonction 



(216) ^ -£-.(--'>■ 



et par suite, d'après la définition (206), par la fonction 



(217) y = P„(x) . 



En substituant cette valeur de la variable y dans l'équation diffé- 

 rentielle linéaire (215), nous en obtiendrons l'identité 



(218) Cr^ - 1) P:ix) + 2xF„{x)- n(n + l)P„(x) = 



pour n > . Remplaçons n par m dans cette égalité, nous en déduirons 



(219) {x' - 1) FUx) + 2xP'„Xx') - m(m + l)P.(x) = , 



et en multipliant les deux membres de l'équation (218) par P„{x) et les 

 deux membres de l'équation (219) par P„(a;), nous en tirerons par 

 soustraction 



(220) {n - 7n){n + m + l)P^{x)Pn{x) = ^ Vx'- l){PJix)F„{x) - Pn{x)F,ix))\ 

 et par suite, en intégrant entre les limites x = — 1 et^=l, 



(221) (« - m){n + m + 1) Ç P^{x)F„{x)dx = . 



Supposant, que les nombres m et n soient différents entre eux, 

 nous en conclurons la formule 



(222) , r P^(x)P.{x)dx = , 



qui subsiste pour tous les nombres entiers m et ?i, qui satisfont aux 

 conditions 



(223) m > , n > , m ^ n. 



