Sur l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 37 



Le polynôme PmQc) étant du m'^"'^ degré, toute fonction entière et 

 rationnelle Gr{x) du î''*""' degré pourra évidemment se mettre sous la forme 



(224) ö.(x)= Z «„.P.W , 



.-«=0 



où les coefficients a„ sont des quantités constantes. On en tire 

 GXx)Pn{:x)dx== Z a„, I P,„ix)P„(x)dx . 



-1 »i=0 t/— I 



Cela étant, supposons que 0<r^n — 1. En appliquant la for- 

 mule (222) à l'intégrale définie, qui se trouve dans le second membre 

 de l'équation (225), nous en obtiendrons la formule 



(226) r Gr{x)Pn{x)da; = , 



qui subsiste pour toute fonction entière et rationnelle Gr{x), dont le 

 degré r satisfait aux inégalités 



(227) 0<r^)i-l . 



§ 9. 

 Substituons dans le théorème II 

 (228) a = - 1 , 6=1, (fix) = 1 , 



et y remplaçons la fonction f{x) par 



.Iß -a ß + a 



où « et /? désignent deux quantités constantes, différentes entre elles; 

 soient de plus x^ , X2 ■, • • • x„ les 7i racines de l'équation 



(229) P„ix) = , 

 nous aurons 



(230) F{x) = n {x - X,) 



