38 A. Berger, 



ou, d'après la formule (210), 



(231) F{x) = l-^-^---'^ P,Xu^ , 



l . à . o . . . {2u — 1 ) 



et du théorème sus-dit nous obtiendrons la formule approximative 



(232) ff(^^ + i±^) </..■ = "l A,f [^J^ .. + ^^) , 

 où 



(233) A, = — i r IjMï_ dx . 



P'„ [Xi^ .-'_] X — Xic 



Par une transformation légère du premier membre de l'équation 

 (232), celle-ci prendra la forme 



(234) 



Ja '^ i = l ^ 



2 ' ' 



ce qui démontre le théorème suivant. 



Théorème XII. Soient a et ß deux quantités réelles, différentes entre 

 elles., et f (x) une fonction finie et continue de la variable x dans V intervalle 



a<x^ß ; 



en désignant par n un nombre entier positif et par x, , x^ , . . . x„ /es n 

 racines du polynôme Pn(x) de Legendre, on aura la formule approximative 



oil les coefficients K^ sont donnés par la formule 



A=-^r^^^dx. 



Si la fonction / [ ~^ x -j- -^-~—] peut être développée en série 

 de la forme 



r—ot 



(235) /(^- + ^-J= lc.x^ 



