Sub l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 39 



pour — 1 < a; ^ 1 , nous obtiendrons d'après le théorème III l'erreur J^, 

 qu'on commet en faisant usage de l:x formule d'approximation du théo- 

 rème précédent, par l'égalité 



(236) ^„ = ilzL^YcvÄ^ , 

 où 



(237) K^ = o'T^Vo'^ -n r P^i-)^r{x)chv , 



1.3.5... (2?î — 1) J_i 



si l'on désigne par Qr{x) le quotient, qu'on obtient en divisant la puis- 

 sance x" par le polynôme 



1 .2 .S., .y p ^ . 



1 .3.5...(2n-l) "^^^ • 



?our les valeurs du nombre ?•, qui satisfont aux inégalités 



(238) n^r ^2n — l , 



le degré du quotient Qr{x) sera évidemment inférieur ou égal à n~l, 

 et par application de la formule (226) au second membre de l'équation 

 (237) nous trouverons, que l'on aura 



(239) Kr = 



pour ces valeurs de r; l'équation (236) pourra donc s'écrire 



r= X 



(240) ^" = ^i^ I '^rK, . 



Si f(x) est une fonction entière et rationnelle de la variable x, 

 dont le degré est inférieur ou égal à 27i — 1 , la fonction 



jouira de la même propriété ; les coefficients Cg« , Cgn+i i • • ■ s'annuleront 

 donc d'après l'équation (235), et nous obtiendrons dans ce cas de 

 l'équation (240) 



(241) " ^„ = , 

 ce qui démontre le théorème suivant. 



