Sur l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 41 



qui a 11 racines égales à 0, et dont le premier membre s'annule aussi 

 pour .r = oo , nous concluons, que l'équation 



(248) ^(,-^:,") = 



a n racines réelles, inégales ^t positives. Par suite l'équation algébrique 



(249) e^ ^ (e~- t") = 



ou 



(250) R,Xx) = 



aura aussi ses n racines réelles, inégales et positives. 



En désignant ces racines par Xi ^ x , . . • .r„ et en observant, que 

 le coefficient de la puissance x" dans le polynôme i?„(.f) est égal à l'unité, 

 nous aurons l'identité 



(251) E„{x)=n\:r-^,) . 



Définissons z comme fonction de la variable x au moyen de l'égalité 



(252) z = e-^x" , 



nous en obtiendrons par dififérentiation logarithmique 



(253) cc^-\-xz — nz = 



dx 



et, par suite, 



/oK^> ■ dxJ d''+'(xz) d"+'2 



(254) ^ — ^ n 



^ ^ J „n+1 1^ J ..71+1 



d"+' [ X i- 



ou, d'après la formule de Leibnitz, 



(255) X - - + (1 + x) ^-- + (n + 1) ^ = 



En y substituant 



(256) ^ = " ' 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



