Sur l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 43 

 en y remplaçant n par m, on aura aussi pour m > 



(266) xR\{x) + (1 - x) R\, (.t) + m B^(x) = . 



Cela établi, multiplions les deux membres de l'équation (265) par 

 Rmi^) et les deux membres de l'équation (266) par R„{x)^ nous en dé- 

 duirons par soustraction 



(267) {m _ n) R^ (x) R„ (x) = x{ R„, ix)R"„ {x) - R„{x) R"„, {x) ) 



+ (1 - x){R^{x)R.{x) - R.(x)RJx)) 

 ou, en multipliant les deux membres par e'-"^ 



' (268) (m - n)e-^R^{x) R„(x) = ^ j^-^T(i2„ {x) R. (.r) - R,. {x) R^{x)) \ . 



Par intégration entre les limites a; = et ,r = oo on en tire 



(269) {m — n) I e'^ R,„{x) R„{x) d x = . 



Si les nombres m et n sont différents entre eux, nous en obtien- 

 drons la formule 



(270) rö-^i?„(,0i?„(:r)c/,r = O , 



qui subsiste pour tous les nombres entiers m et n, qui satisfont aux 

 conditions 



(271) m > , n> , m>n. • 



Puisque le polynôme R^{x) est du ;«""" degré, on peut évidem- 

 ment mettre toute fonction entière et rationnelle Gr{x) du r""'^ degré 

 sous la forme 



(272) G,(,r)= 2 a„,R,„{x) , 



OÙ l'on désigne par a„ des quantités constantes. On en déduit 



(273) e-^GXo^Rn{x)dx = Z « J e'^ R^{x)R„{x)dx . 



Jo m=0 <- 



