Sur l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 45 



Théorème XIV. Soit f(x) une fonction finie et continue de la va- 

 riable X pour X ^ , et désignons jjar ii un nombre entier positif et par 

 Xj , X2 , . . . Xn les n racines du polynôme Rn(x), on aura la formule ap- 

 proximative 



f e-y\x)dœ = ''iA,f{x,) , 

 oh les coefficients A^ sotit donnés par la formule 



Kn (a;*) Jo x — Xk 



Supposons, que l'on puisse développer la fonction /(.r) en série 

 de la forme 



(282) f{x) = c, + <-\ ^ + <--2 x' -\- c,x' + . . . 



pour X ^ , et désignons par J„ l'erreur, qu'on commet en faisant usage 

 de la formule d'approximation du théorème précédent, nous aurons 

 d'après le théorème III 



(283) J„ = Y CrK, , 



où les quantités Kr sont déterminées de la manière suivante. 



Soit Qr(x) le quotient obtenu en divisant la puissance x'' par le 

 polynôme R„(x')i on aura 



(284) K^= f e-''R,(x)Qr(x)dw . 



Pour les valeurs du nombre r, qui satisfont aux inégalités 



(285) n^r <2n—l , 



le degré du quotient Qr{x) sera évidemment inférieur ou égal à ?i — 1 , 

 et en appliquant la formule (274) à l'équation (284) nous en déduirons 



(286) Kr = 



pour ces valeurs du nombre r; l'équation (283) peut donc s'écrire 



(287) Jn = ''ïc^Kr. 



