46 A. Berger, 



Si f{x) est une fonction entière et rationnelle de la variable a;, 

 dont le degré est inférieur ou égal à 2n — 1, les coefficients c-i„, c-^n+i, 

 ^2n+2 1 • ■ • s'annuleront d'après l'équation (282), et nous obtiendrons de 

 l'équation (287) . 



(288) ^„ == , 



ce qui démontre la proposition suivante. 



Théorème XV. La formule approximative du théorème XIV donne 

 un résidtat exact pour toute fonction entière et rationnelle f(x), dont le degré 

 ne surpasse pas 2 n — 1 . 



Pour n = \ , 2 on déduit du théorème XIV les formules approxi- 

 matives suivantes. 



(289) re-f{x)dx=f{\) , 



■■'0 



(290) r e-f{.)dx = ^ + ^^ /(2 - V2) + ^^/(2 + V2) . 



§ 12. 



En désignant par n un nombre entier positif ou nul, les polynômes 

 H„{x) de M. Hermite sont définis par l'équation 



(291) H„{x) = e^'^e-' ; 



dx 



il s'ensuit, que IIn{x) sera une fonction entière et rationnelle de la va- 

 riable X du n*'""' degré. Pour ?î = 0,1, 2, 3, 4, 5 on obtiendra de 

 l'équation (291) 



(292) H,{x) = 1 , i7,(,r) = - 2^ , R,{x) = Ax'-2, H,{x) = _ 8^-' -H 12 ^^ 



H,{x) = 16a,'*- 48a;' -I- 12 , H,{x) = - 32«^ -f 160^;' _ 120a; . 



Puisque la fonction e~^'' s'annule pour x = — oo eta; = oo, nous 

 trouvons par application du théorème de Rolle, que la n""' dérivée de 



