SuK l'Évaluation approchée des intégrales définies simples. 47 



cette fonction s'évanouira pour n valeurs réelles et distinctes de la 

 variable x. Les n racines de l'équation 



(293) iy„(.^) = 



seront donc réelles et inégales ; en les désignant par a;, , a^g i • • • ^« ? ®* 

 eu observant, que le coefficient de la puissance x" dans le polynôme 

 Hn{x) est égal à (— 2)" d'après la définition (291), on aura identiquement 



(294) H„(x)=(-2r n{x-x,) 



/7 



En définissant z comme fonction de la variable x au moyen de 

 l'égalité 



(295) z = e-^' , 

 on en tire par differentiation logarithmique 



(296) 4^ + 2a;z = 



et par suite, n étant un nombre entier positif ou nul, 



(297) ^^ + 2 - ^^^ = 



^ ^ dx"+'' ^ dx"+'- 



ou, d'après la formule de Leibnitz, 



(298) 4__J + 2a;^^ + 2(n+l) "^^ = . 



En y faisant 



(299) ^ - » , 



nous trouverons, d'après l'équation (295), qu'on satisfera à l'équation 

 différentielle 



(300) p^ + 2x4^ + 2(n+l)u = 

 dx dx 



par la fonction 



(801) "-^^-'•- 



