48 A. Berger, 



* Introduisons maintenant au lieu de u une variable nouvelle y, 



liée avec u par la relation 



(302) u = e-'"y , 

 nous en tirerons par differentiation 



(303) e^'^ = ^-2a:y ; 



ax dx 



en différentiant de nouveau, nous obtiendrons de l'équation (303) 



dx^ ' dx ^dx^ dx 



En appliquant les équations (302) et (304) aux équations (300) et 

 (301), nous trouvons, qu'on satisfera à l'équation différentielle 



(304) _-- + 2.r-_-=. ^UJ_2^---f -2y . 



(305) ^-2x^ + 2ny = 



dx' dx 



par la fonction 



(306) y = e^-£^e-' ; 



d'après la définition (291) le polynôme 



(307) y = HXx) 



satisfera donc à l'équation différentielle (305). En y substituant la va- 

 leur de y, donnée par l'équation (307), nous aurons l'identité 



(308) H\{x) - 2xH'Xx) + 2nHXœ) = , 

 d'où l'on tire, après avoir remplacé n par ?«, 



(309) H\{x) — 2x H'^ (,r) + 2 y« H^ (r) = . 



Multiplions les deux membres de l'équation (308) par H„(t) et 

 les deux membres de l'équation (309) par H,,(x), nous en obtiendrons 

 par soustraction 



(310) 2(m - 7i)H„Xx)H„(x) = H,,{x)H\{x) - H„(x) H\{x) 



- 2x{H^iœ-)H'„(x) - H^{x)H'^{x)) 



